Untergruppen der projectiven Gruppe des linearen Complexes. 151 



und P zusammen mit dem Punkte P', welchen der Complex 



der Ebene — - = a zuordnet, ein harmonisches Doppelver- 



hältnis bestimmen. Nur für die Ebenen æ?^ = ö und x^==0 

 fallen die Punkte P und P' zusammen; nur in diesen Ebe- 

 nen sind daher die Bahncurven Gerade, die dem Complex 

 angehören. 



Bei der Gruppe 



(61) x^Pi—x^îJ 



ferner bleiben alle Punkte der Nichtcomplexgeraden Xi=0, 

 x^=0 und ausserdem zwei isolierte Punkte æ^ = 0, x^ = 0, 

 x^==0 und x^-=0, Xo,=-0, x^-=0 invariant, während jeder 

 andere Punkt des Raumes auf einem Kegelschnitt 



-^ = ff, — = & 



transformiert wird. 



Die übrigen eingliedrigen Gruppen sind schon dadurch 

 von den bisher aufgeführten verschieden, dass sie nur eine 

 endliche Anzahl von Punkten des Paumes stehen lassen. 

 So bleiben bei allen Transformationen der Gruppe 



(64) 0'(a:i^i— a^2P2)+^3i'3— ^4i?4 ' 



wo a endlich und -^ 0^ 1 oder — 1 ist, — denn der Typus 



^\Vi—^iVi'V^z'9z—^4.Vz ist mit oc^Vx—^-iP^—^^zVz^^^^x 

 gleichberechtigt, wie man durch Anwendung der Trans- 

 formation (Tg) leicht einsieht, — nur die vier Ecken des 

 Coordinatentetraeders in Ruhe. Die Bahncarven haben, in 

 Cartesischen Coordinaten geschrieben, die Form: 



liaArl 2a-\-l 



T = «, 7- = ^- 



^of— 1 x^ 



Hält man die drei invarianten Eckpunkte, die in der 

 Ebene x^^= liegen, fest, lässt dagegen den vierten in- 

 varianten Punkt mit a^^ = ö, x^ = 0, Xj^=^0 zusammen- 

 rücken, so hat man diejenige Punktfigur, welche die Gruppe 



