Untergruppen der project! ven Gruppe des linearen Complexée. 153- 



Cap. 4. 



Bestimmung aller Untergruppen der G-^^, die keinen Punkt des 

 Raumes invariant lassen. 



§7. 



Naclidem es gelungen ist, alle Typen von Untergruppen' 

 •der r^Q zu bestimmen, welche einen Punkt des Raumes in- 

 variant lassen, handelt es sich noch darum, alle Typen von^ 

 Untergruppen zu ermitteln, bei denen kein Punkt in Puhe 

 bleibt. Alle diese Typen werden mindestens dreigliedrig 

 sein, denn jede zweigliedrige projective Gruppe lässt sicher 

 einen Punkt des Raumes invariant. 



Wir gehen zuerst auf die Bestimmung aller Unter- 

 gruppen der r^Q ein, bei denen eine Curve, aber kein 

 Punkt des Raumes in Ruhe bleibt, und zwar untersuchen 

 wir zunächst den Fall, dass diese Curve eine gewundene ist. 



Jede Gruppe von dieser BeschaiFenheit enthält eine 

 zweigliedrige Untergruppe, die durch geeignete Transforma- 

 tionen der r^Q in eine zweigliedrige Untergruppe der F^ 

 überführbar ist. Unter den zweigliedrigen Untergruppen der 

 r^, die sämtlich uns bekannt sind, findet sich aber nur eine, 

 bei welcher eine gewundene Curve invariant bleibt, nämlich: 



i^i+^i^i+^i^i, ^iPi-T^Vili^Ss^r^ 



und diese lässt die gewundene Curve dritter Ordnung 



x^'^ — 2y^ = 0, 3z^ — x-^y.^ = 

 invariant, die dem linearen Complex angehört. Es hat keine- 

 Schwierigkeit, sofort die grösste Untergruppe der F^ q anzu- 

 geben, welche diese Curve gestattet. Dieselbe ist drei- 

 gliedrig und lautet: 



[2y^—3æ^ '')p.-^3{z^ -«i^iki— ^a^i^irj 



Die ihr entsprechende einzige Untergruppe der G^jo, 



