Untergruppen der projectiven Gruppe des linearen Complexes. 155 



Wf ^ ap-\-ßq-{-yr 

 in einer Gruppe von der verlangten Eigenschaft auftritt, 

 gleichzeitig alle Translationen in ihr enthalten sind. In 

 der That, aus den den Identitäten 



(W, r,) = aq-ßp^a, Wf= W,f+a^ Wf, 



[W,, r,)^ap^ßq^a,WJ, 



(W„ V,) = ßr-{-ß,W,f, (TT,, V,) = -ar^y^W,f 

 folgt, dass, da aßy nicht sämtlich Null sein sollen, r, mit- 

 Hn, wie die Combination mit Fj/" und V^f lehrt, auch p und 

 q vorkommen. 



Suchen wir zunächst alle Untergruppen der (55 7 von der 

 !geforderten Beschaffenheit, die keine Translation enthalten, 

 so sind nur die beiden Fälle möglich, dass F^/", V^f, V^f 

 oder dass 



WJ= xq—yp-\-t^^ iiH«i aO'+^i 3^ 



TF3 /*= ^i?—a;r-[-a 3 i_p-f a g 2 g-f «3 3 r 

 WJ= xp^yq-\-sr-\-a^^p^a^^q^a^ ^r 



eine Grruppe bilden. Im ersten Falle folgt aus den Combi- 

 ^lationen {T\r.,), (F2F3) und (F3F1), dass 



a4.=ßi = r4. = 0, oc^ = ß^=y^ = 0, 



«'1 = — /^s' ß-2=^ri, «2 = — rs' 



im zweiten Falle aus der Combination von TF^/" mit W-^^f 

 W,f, W,f: 



«'13 =ö'2 1='*32 = ^^ 



Es erhalten daher Fj/", V^f, V^f die Form: 

 rj={x-j-a^)q—{y—a^)p, 



y2f= ^y-<^iy—{z—ßz)q, 



Indem wir mit Hülfe der Transformation 

 x' = X^a^, y' = y—a^, z' = z—ß^ 



