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Emil Knot he. 



x'y'z' als neue Variable einführen, ergiebt sich die Gruppe 

 — wir lassen die Accente fort — 



xq—yp, y r — zq, zp — xr 



Die analoge Transformation : 



x' = X-{-a^^, y' = y^a^^, S' = 2-^a^ 

 bringt die Gruppe der Wf auf die Form : 



xq — yp^ yr — zq, zp- xr, xp-\-yq-\-zr 



Treten endlich alle Translationen p, q, r auf, so ist die 

 Gruppe entweder die ©^ selbst oder eine sechsgliedrige von 

 der Gestalt: 



p, q, r, xq—yp-{-aU, yr — zq-\-ßU, zp — xr-{-yTJ. 

 Combiniert man aber die drei letzten unter sich, so folgt 

 a=^ ß=^y= ö, und man gelangt zu dem Typus : 



p, q, r, xq — yp, yr — zq, zp — xr • 



Hiermit sind alle Möglichkeiten erschöpft. Wir finden 

 also die Gruppe aller Rotationen, die Gruppe aller Ähnlich- 

 keitstransformationen, die einen Punkt stehen lassen, die 

 Gruppe aller Bewegungen und endlich die Gruppe aller 

 Ahnlichkeitstransformationen des Sffg. 



Eine entsprechende einfache geometrische Deutung las- 

 sen die Untergruppen der F^q zu, die eine Complexgerade, 

 aber keinen Punkt stehen lassen. 



Bei der siebengliedrigen — wir bedienen uns wieder- 

 homogener Coordinaten — 



X^P^^ X^P2 ^\Pzi '^iP^i ^^Pl'T'^'iPzi ^iPi -^iPi 

 ^3P2\'^lP4i ^zPz ^\PA: 



bleibt die Complexgerade rcj = ö, x^ 

 ist die sechsgliedrige 



in Ruhe. Weiter 



x^Pq, x^P2 ^iPzi ^\P2i i^éPir'^iPsi 



