162 Emil Knothe. 



rigen Grruppe invariant, und zwar giebt es, wenn diese 7] 

 den gestellten Forderungen genügt, in der Schar keine 

 Curve, die bei allen Transformationen der Fr in sieb tiber- 

 gefübrt wird. Die /]. besitzt aber sieber eine r — 1 glied- 

 rige Untergruppe F^—j, die eine Curve der Scbar in Rübe 

 lässt. Bliebe nun auf dieser Curve zugleicb ein Punkt fest, 

 so würde derselbe bei allen Transformationen der F^ ent- 

 weder gleiclifalls invariant bleiben oder eine Curve be- 

 scbreiben; in beiden Fällen wäre die F,. aber mit einem 

 der schon bestimmten Typen von Untergruppen der F^q 

 gleichberechtigt. Es darf daher auf jener Complexcurve, 

 die die F^-j zulässt, nicht gleichzeitig ein Punkt sich in- 

 variant verhalten. Mit Hülfe der Transformationen der 

 Fj(^ kann nun erreicht werden, dass die Fr-i eine der von 

 uns aufgestellten canonischen Formen annimmt. In der 

 Zahl der Untergruppen der F^, die eine Complexcurve je- 

 doch keinen Punkt derselben stehen lassen, finden sich aber, 

 wie wir gesehen haben, nur drei, bei denen gleichzeitig eine 

 krumme Fläche invariant bleibt: nämlich die dreigliedrige, 

 die eine gewundene Curve dritter Ordnung und daher auch 

 ihre abwickelbare Fläche in Ruhe lässt, und ferner eine 

 drei- und eine viergliedrige, welche beide zwei zu einander 

 windschiefe Complexgerade und die durch diese Qeraden be- 

 stimmte Fläche zweiten Grades x^x^ — XqX^ = stehen lassen. 



Jede Untergruppe der F^q, bei welcher jene abwickel- 

 bare Fläche in Ruhe bleibt, transformiert die oo^ Complex- 

 curven, das sind die Erzeugenden dieser Fläche, unter sich 

 und lässt die Rückkehrcurve der Fläche, also die gewundene 

 Curve dritter Ordnung invariant. Die grösste Untergruppe 

 der F^Q aber, die diese gestattet, ist eben jene dreigliedrige. 



Auf der Fläche x-^X2 — x^x^ = ferner, die jene drei- und 

 viergliedrige gestattet, hat die eine Schar von Erzeugenden 



die Eigentümlichkeit, dass alle ihre Geraden nicht dem 



