Untergruppen der projectiven Gruppe des linearen Complexes. 163 



Complex angehören mit Ausnahme allein der beiden ge- 

 trennten Geraden x-^^ = 0, x^ = und x<^ = 0, x^ = 0. Da 

 bei allen Transformationen der F^q nun Complexgerade 

 stets in ebensolche und Nichtcomplexgerade wieder in Nicht- 

 complexgerade übergehen, so giebt es offenbar keine Unter- 

 gruppe der /"lo, die keine Erzeugende jener Schar auf der 

 invarianten Fläche x^x^ — a^gic^ = ö stehen lässt. 



Damit ist nachgewiesen, dass die jT, q keine Unter- 

 gruppe besitzt, bei welcher eine krumme Fläche, aber weder 

 eine Curve noch ein Punkt in Ruhe bleibt. Auf einem kür- 

 zeren Wege gelangt man zu diesem Resultate, wenn man 

 sich auf den von Lie'^) bewiesenen Satz stützt, dass ausser 

 den Ebenen und Kegelflächen nur die Flächen zweiten 

 Gerades, die Abwickelbare einer gewundenen Curve dritter 

 Ordnung und die Cayleysche Linienfläche dritter Ordnung 

 mehr als zwei projective infinitesimale Transformationen ge- 

 statten. Auf Ebenen und Kegelflächen bleibt gleichzeitig ein 

 Punkt, auf den letztgenannten Flächen aber je eine Curve bei 

 allen Transformationen der F-^q, die sie gestatten, invariant. 



§ 11- 



Schliesslicb könnte die F-^q noch Untergruppen besitzen, 

 die keine Punktfigur stehen lassen. Nach einem Satze von 

 Lie^) giebt es aber in R^ nur eine projective Gruppe von 

 dieser Beschaffenheit, nämlich die F^q selbst. Man kann 

 aber auch unabhängig von diesem Satze einsehen, dass keine 

 Untergruppe der verlangten Art existiert. 



Wir stützen uns zum Beweise, der im Folgenden nur ange- 

 deutet werden soll, auf den Satz, dass alle Untergruppen der 

 F^Q imprimitiv sind. In der That, wenn eine Untergruppe 

 derr'io einen Punkt stehen lässt, so werden die oo^ Nicht- 

 complexgeraden, die durch den Punkt gehen, unter sich 



^) Ark. f. Math. 1876. 

 2) Ark. f. Math. B. X. 



