164 Emil Knothe. 



transformiert. Lässt eine Untergruppe keinen Punkt stehen, 

 so erzeugen alle Transformationen derselben, bei denen ein 

 Punkt in sieb übergeführt wird, eine Gruppe, die mit irgend 

 einer der von uns bestimmten Untergruppen der Fr^ gleich- 

 berechtigt ist; aus der Discussion dieser Untergruppen aber 

 wissen wir, dass durch einen beliebigen invarianten Punkt 

 stets auch eine invariante Richtung existiert. Eine Aus- 

 nahme hiervon macht die siebengliedrige F^, die einen Punkt 

 stehen lässt, und ihre erste derivierte F^, die alle Volumina 

 des Raumes invariant lässt. Es ist indessen sofort nachzu- 

 weisen, dass die F^ als Untergruppe nur in der JT^ und 

 der i"iO) *^iö ^i ^^^ i^ ^®^ -^lo enthalten ist. 



Bei jeder Untergruppe der F-^q bleibt daher eine Schar 

 von oo2 Curven invariant. Solche Untergruppen insbesondere, 

 die keine Punktfigur in Ruhe lassen, sind sämtlich transitiv, 

 transformieren also auch die Curven jener Schar transitiv. 



Ist nun -T,. eine r-gliedrige Untergruppe von dieser Be- 

 schaffenheit, so besitzt dieselbe eine r — 2 gliedrige Unter- 

 gruppe il—o, die eine beliebige Curve der bei der F^. invari- 

 anten Schar in sich überführt. Auf dieser Curve dürfte 

 aber nicht gleichzeitig ein Punkt fest bleiben; denn dieser 

 würde bei allen Transformationen der F^q entweder eben- 

 falls sich in Ruhe befinden oder ooi oder endlich oo^ Lagen 

 annehmen ; die F.^ Hesse daher einen Punkt oder eine Curve 

 oder eine Fläche des Raumes invariant und fände sich unter 

 der von uns bereits bestimmten Typen vor. Auf der bei der 

 Fr-2 invarianten Curve bleibt also kein Punkt des Raumes 

 fest. Die I>_o ist mithin mit einer der sechs Untergruppen 

 der F-^Q gleichberechtigt, die eine Curve, aber keinen Punkt 

 stehen lassen. Stellt man sich aber die Aufgabe, alle Unter 

 gruppen der F^^ zu bestimmen, in denen diese sechs Typen 

 als Untergruppen enthalten sind, so gelangt man entweder 

 zur r'io oder zu gewissen unter den sechs Typen zurück. 



