196 K. E. Sparre. 



syvtiaarene er blevet opstillet af russeren Ermakoff^); men 

 da bevismethoden er ny, og jeg desuden har givet kriteriet 

 en for visse tilfælde mere anvendelig form, medtages det 

 ker. Endelig skal nøiere behandles de Bertrandske krite- 

 riers rækkevidde og paavises, hvorledes disse bliver ubruge- 

 lige, naar man indfører visse funktionsudtryk af andre 

 former end de i mathematiken sædvanlig anvendte. Util- 

 strækkeligheden af disse kriterier er forøvrig tidligere paa- 

 vist baade af Du Bois-ßeymond og Pringsheim. 



§ 1- 

 De uendelige rækker sat under form af et bestemt integral. 



1. Baade Mac Laurin og Euler samt senere Cauchy har 



paavist et nøie sammenhæng mellem uendelige rækker og 



bestemte integraler. Disse mathematikere fandt nemlig, at 



oo 

 den uendelige række Sf(x), naar f(x) var underkastet visse 

 a 



betingelser, konvergerede eller divergerede samtidig med det 



oo 

 bestemte integral J f(x)dx Hermed er da fundet et krite- 

 a 



rium for rækkers konvergens og divergens, der udmærker 

 sig ved sin store almindelighed, men hvis brugbarhed er i 

 væsentlig grad indskrænket ved vanskeligheden af at be- 

 stemme integralets grænseværdi. Tiltrods herfor er kriteriet 

 af stor betydning og ikke mindst derved, at det danner 

 grundvolden for den række af kriterier, som skyldes Bertrand. 

 Uagtet senere forfattere har paavist, at de af ham naaede 

 resultater ogsaa kan vindes uden de bestemte integralers 

 hjælp, har dog kriteriet derved faaet en betydelig historisk 

 interesse. 



2. Af hensyn til den følgende udvikling skal foruden 

 selve Cauchys theorem ogsaa beviset for samme medtages. 

 Theoremet kan udtales saaledes: 



'j Darboux Bulletin, t. II, pag. 250. 



