198 K:. E., Sparre, 



a -|- n 

 /f(x)dx > f(a 4- 1) + f(a -f- 2) + . . . . f(a + n). 

 a 



a -j- n 

 Det bestemte integral J f(x)dx vil altsaa have en værdi, 



der ligger mellem de 2 rækkers 



f(a) -f f(a + 1) + + f(a + n - 1) 



og f(a -f 1) -h + f(a + n - 1) 4- f(a -f- n). 



Da imidlertid disse rækker kun skiller sig fra Mnanden 

 om størrelsen f (a) — f(a -f- n), der stadig forbliver endelig 

 og særlig for n = oo gaar mod f(a), saa vil integralet skille 

 sig fra den første række om en størrelse, der er <^ f(a). 

 Dette vil vedblivende finde sted, om man lader n gaa mod oo. 

 Hermed er bevist rækkens og integralets samtidige konver- 

 gens og divergens. 



3. Af beviset for Cauchys sats drager man imidlertid 

 let videregaaende slutninger. Da nemlig 

 x x 



/ f(x)dx < Z (a) -h- f(x) 



og 



følger, at 



/ f(x)dx > Z f(x) - f(a) 



/f(x)dx 

 ^ ,^ f(x) ^ a ^ _^ f(a) 



X x -^ x 



Zf(x) i:f(x) 2 f (x) 



B/ 3j at r 



f(a) 

 Er nu rækken konvergerende, vil forholdet — gaa 



2 f(x) 

 a 



