Om uendelige rækker med reelle og posetive led. 201 



x -f- 1 

 /f(x)dx 



— ^7—\ — skal være endeligt, vil altsaa sige, at forholdet 



t(x) 



mellem et saadant rektangel og det üaderum, der begrænses 

 af kurven og ordinaterne f(x) og f(x -{- 1), skal være ende- 

 ligt. Dette vil vistnok i almindelighed være tilfældet, hvis 

 f(x) er en kontinuerlig funktion mellem a og oo. Er der- 

 imod funktionen diskontinuerlig i strøget f (x) til f (x -\- 1), 

 vil nævnte forhold ikke med nødvendighed være endeligt. 

 I dette tilfælde er udtryk (2) altsaa ikke gyldigt. 



Indføres imidlertid istedetfor f(x) en ny funktion çp(x) 

 af den beskaffenhed, at den for alle hele værdier af x falder 

 sammen med f(x) samt for mellemliggende værdier af x op- 



x + l 

 / (p(x)dx 



fylder den betingelse, at forholdet 1-. skal være ende- 



. cp(x) 



ligt, saa har man ifølge foregaaende resultater 

 x x 



J cp(x)dx ^ c Z (p(x) 

 a a 



x x 



Ifølge definitionen af cf»(x) er imidlertid Z f(x) = Z ^(x),. 



a a 



saa man har 



x x 



/cp(x)dx^cZf(x) (3) 



a a 



Geometrisk vil denne hjælpefunktion fremstille en kurve, 

 îr gaar gjennem rækkepolygonens hjørner, og ved at lade 

 denne kurve slutte sig tilstrækkelig nær ind til den rette 

 linje mellem 2 hjørner, kan den til funktionen knyttede 

 betingelse altid opfyldes. 



Man bemærker, at i (1) saavel forholdet som differensen 

 mellem rækken og integral-et er endeligt. I udtryk (2) er 



