Om uendelige rækker med reelle og posetive led. 203 



Da vi lier betragter rækkens sum som en fimktion af x, 

 vil vi betegne den med %(j.)- For konvergente rækker er 

 altsaa lim ^(x) = konst., og for divergente rækker er 

 lim ^(x) = oo. Ovenstaaende sats, som er umiddelbart ind- 

 lysende for konvergerende rækker, bevises let ved at sammen- 

 ligne rækkerne 



f(l) + f(2) + f(3) + + f(x) = 5(x) 



ogl + 1 + l-f + l=x 



Sætter vi nu = cp(x), saa er 



^(x) = cp(x).x , eller 



f(l) + f(2) + + f(x) = cp(x) 4- (p(x) -I- -f cp(x) 



[f(l)^cp(x)] + [f(2)-cp(x)]-h[f(3)-(p(x)] 4- . . . +[f(x)-cp(x)] =0 



Hvis nu ikke cp(x) gaar mod o, men holder sig endelig, 

 saa vil ovenstaaende rækkes samtlige led forblive endelige, 

 og rækken vil altsaa divei-gere. At de posetive og negative 

 led i rækken skulde kunne ophæve hinanden og summen 

 saaledes blive o er udelukket derved, at de posetive led 

 kun kan forekomme i et endeligt an tal [nemlig indtil et 



bestemt f(n) ^ ^(j-)], medens de negative led danner en 



uendelig række med numerisk voxende talværdier. Rækken 

 vilde altsaa gaa mod — oo og ikke mod o. Af samme 

 grunde kan heller ikke cf)(x) gaa mod co. Hermed er da 



bevist, at lim cp(x) = lim = o. 



x 



I det foregaaende har vi med g(x) betegnet rækken 



■^ ... "^Cxl 



2 f(x). Det er imidlertid indlysende, at satsen lim " = o 



x 



ogsaa vil gjælde, hvis 2^(x) betegner X f(x), eftersom disse 



a 



rækker kun skiller sig fra hinanden om en endelig stør- 

 relse. 



