208 K. E. Sparre. 



X 



og lim J cp(x)dx = oo for divergens, 



a 

 hvor 9(x) betegner den før omtalte hjælpefunktion. I det 



x 

 følgende vil vi betegne det ubestemte integral J cp(x)dx 



a 

 med F(x) og benævne dette ndtryk rækkens integralfunktion. 

 Vi kar da 



' F(oo) — F(a) = b for konvergens 



F(oo) — F(a) = oo for divergens 

 -eller F(oo) = b + F(a) = endelig 



F(oo) = oo -[- F(a) = uendelig 

 I kon vergen stilfælde vil altsaa integralfunktionen F(x) 

 :gaa mod en endelig størrelse, i tilfælde af divergens derimod 

 mod oo. Man kan ogsaa udtale dette saaledes: 



Betegner c den endelige størrelse, hvortil F(x) i tilfælde 

 af konvergens nærmer sig, saa har man 



for konvergerende rækker lim [F (x) — c] = o, 

 for divergerende rækker lim [F(x) — c] = oo. 

 Divergerer rækken, saa kan c betegne en hvilkensom- 

 helst posetiv konstant. For mange af de almindelig fore- 

 kommende rækker er c = o. 



Man indser let af det forangaaende, at hvis rækken 



x 



Z f(x) skal divergere, maa nødvendigvis integralfunktionen 

 a 



være en posetiv og mod oo stigende funktion af x. Skal 



derimod rækken konvergere, maa F(x) enten være negativ 



og stigende (numerisk synkende) mod -r- c eller posetiv og 



stigende (ogsaa numerisk) mod -{- c. Selvfølgelig kan i 



begge tilfælde konstanten c være o. 



En geometrisk betragtning vil tydelig vise dette. For 



konvergente rækker vil y = F(x) fremstille en kurve, der 



vender sin konkave side nedover samt asymptotisk nærmer 



