212 K. E. Sparre. 



tion <^ x, er der intet i veien for, at vi kan stille den for- 

 dring, at den skal have en kontinuerlig og stadig synkende 

 deriveret funktion, og dermed opfylde betingelsen 



i))(x -f a) — ■i|)(x) ^ a i|)'(x) 

 Isaafald kan ogsaa kriteriet (B) gives formen^) 



f(i|)(x)). [-i|)(x -f a) — il)(x)] ^ konvergens 

 f(x). a <C divergens. 



Med hensyn paa gyldiglieden af de foregaaende udvik- 

 linger er at bemærke, at det er forudsat, at virkelig for- 



, ,, ^ f(il)(x)). -i|)'(x) . . 



noldet ^ -ft \ nærmer sig en grænse, som er o, enae- 



i(x) 



lig eller oo. Dette er dog ikke altid tilfældet. Ofte kan 



det forblive ganske ubestemt, og isaafald svigter kriteriet. 



Fn saadan ubestemthed vil i almindelighed indtræde, naar 



cp(x) er en periodisk funktion, naar man altsaa undersøger 



rækker, hvis led vel aftager men ikke stadigt. Ovenstaaende 



kriterium faar derved kun sikker anvendelighed for rækker 



med stadig aftagende led. 



12. Det skal vises, at det med (A) betegnede forhold kan 



tillægges en eiendommelig betydning. Forudsættes der, at 



man betragter rækker, for hvilke lim ^p- — -= 1, saa vil 



rækkens rest skille sig fra det tilsvarende bestemte integral 



om en størrelse, der gaar mod o for voksende x: 



oo 

 lim R =limjcp(x)dx 



oo , Mx) M{^)) MMM^))] 



Nu er J (p(x)dx =J (p(x)dx -\- J cp(x)dx -{- J cp(x)dx -|- 

 X x it)(x) ^(t^(x)) 



eller 



oo 



/cp(x)dx = [F(i|)(x))-F(x)] + [F(if)(il)(x)) -F(Tl)(x))] + . . 



') Sammenlign Pringsheims afhandling i Math. Annaleu, Bd. 35, pag. 392. 



