Om uendelige rækker med reelle og posetive led. 215 



At lim f(i|)(x)). ij)'(x) = er vistnok en nødvendig, men 

 ikke tilstrækkelig betingelse for konvergens og kan saaledes 

 ikke danne noget til (1) tilsvarende kriterium. Et saadant 

 kriterium kan erholdes, naar man ved indførelse af et 'i})(x) 

 fordrer, at den fremkomne funktion F(i|)(x)) — c skal have en 



deriveret, der er mindre end f. ex. — ; en funktion der har 



xP 

 en saa stærkt synkende deriveret, maa nemlig selv være 

 «ynkende. Man faar saaledes kriteriet 



lim ^^^M^IIJ^ < 1 (p > 1) 



(2) lim f('i|)(x)) •ij)'(x). x <^ 1, konvergens. 



Man kan forøvrig ved lignende betragtninger ogsaa 

 finde andre kriterier ; men da de ikke har nogen fordel lige- 

 overfor ErmakofFs^ medtages de ikke her. 



Vi bemærker tilslut, at vi fremdeles i de foregaaende 

 udviklinger saavel som i de følgende har forudsat, at led- 

 dene i de betragtede rækker har været stadig aftagende. 



14. Der er rækker, for hvilke Ermakofis kriterium er lidet 

 hensigtsmæssigt. Dette er særlig tilfældet, hvis forholdet 

 mellem 2 fjerntliggende led vanskelig kan findes. Ofte er 

 imidlertid isaafald forholdet mellem 2 konsekutive led let 

 bestembart. Vi skal nu vise, hvorledes man kan foretage 

 en nyttig modifikation af nævnte kriterium. 



Den specielle form af dette 



î{g:^)- e^ ^ . divergens 



f(x) <^ konvergens 

 forandres let til 



la = lf(e^) — lf(x) -1- x ^ ... (a) 



Nu kan imidlertid ethvert led i en række opfattes som 

 produktet af et begyndelsesled og alle de foregaaende 

 forholdsexponenter : 



