f(^ 



Om uendelige rækker med reelle og posetive led. 217 



a(a+l)(a + 2)...(a + x).|3.(ß4-l)(ß+2)...(ß4-x) 

 T(T + l)(T-i-2)...(T + x).b.(b + l)(b4-2)...(b + x) 



Her er 



(p(x) 



(Y + b — a — ß) x — gß 4- yb 



x'4- (a + ß) x +aß 

 Det vil imidlertid indsees, at man allerede her kan 

 foretage en foreløbig grænseovergang: 



y 4 - b H- g — ß _ Å^ 

 x x 



cp(x) = 



Dette indsat i kriteriet giver 



lim 



Adx 



= lim 



eller 



x H- A(x - 1 



> 



^°- 



< 



lim [(1 — A)x + Aix] ^0. 



Heraf fremgaar, at rækken vil divergere for A 1 



og konvergere for A ^ 1, et resultat, der som bekjendt, 

 første gang er fundet af Grauss. 



15. Man kan imid] ertid undgaa integration paa følgende 



e" 

 maade. Da x — /(p(x)dx var logarithmen til forholdet 



x 



^^ ^ ^ , og dette udtryk, naar kriteriet er brugbart, vil 



f(x) 



gaa mod o eller oo, (at saa er tilfældet fremgaar af et 

 nøiere studium af dette kriteriums rækkevidde) saa vil loga- 

 rithmen heraf gaa mod -\- oo eller — oo o : 



x 



T / r r \A \ + oo> divergens 



hm (x - j cp(x)dx) = _ oo, konvergens 



e" 

 Da det endvidere let kan paavises, at ogsaa j cp(x)dx = oo 



