256 Axel Thue. 



Da udtrykkene paa begge sider af lighedstegnet er af 

 r 4" 1- te grad i q, saa maa ligningen, der gjælder for hele 

 positive værdier af q, gjælde for enhver værdi af q. 



Ligning 1) kunne med lethed være bevist direkte. 



Gjælder den nemlig for en værdi af r, saa maa den ogsaa 

 gjælde for den næste, da 



(q + l)(q+2)...(q+r+l) , q (q + 1) . ■ . (q + r + 1) _ 

 1 . 2 ... (r + 1) "^ 1 . 2 . . . . (r 4- 2) 



q (q + 1) (q + 2) ■ ■ . ■ (q + r + 2) 

 1.2.3 (r + 2) 



Er q et primtal og 



q > r + 1 

 saa bliver ifølge 1) 



(q + 1) (q -f 2) ■ . . (q + r + 1 ) _ 

 1 . 2 ... (r + 1) 

 delelig med q. 



q kan gjerne være negativ, naar blot 



|q| > r + 1 

 Mere almindelig finder man direkte: 

 (q + a) (q + b) . ■ ■ (q + k) ^ _ 



a. b ... k " a.h...k 



eller 



(q + a) (q + b) . ■ • (q + k) (q + h) ^ ^ q . Q 

 a.b... k ab...k 



et belt tal, da er dette delelig med q, saafremt ab...k og q er 

 indbyrdes primtal. 



Deriveres A) q. gange med hensyn paa x faaes 

 q(q-l) . . .3. 2 . 1-f (q -l-l)q...3.2(x-f 1)' + . . . 



+ m (m — 1) . . . (m — q + 1) (x + 1)"^" ^ = 



("^ + ^|"^^--^"^-q+ -^ + x.ü(x) 



