Mindre Meddelelser. 263 



Et par beviser for existeneen af paa hinanden 



følgende primtal, hvis differens er større end 



ethvert opgivet tal n. 



Være 

 "da er 



Q=0-l)0-è) 0"w) 



l0£ 



^ ==_logQ= 1(1+1 +^+... .+^)+. 

 J- ("^4-^4-14- 4--J-V 



' 2n2 



For konstant u gaar altsaa Q mod med voxende m 

 Være nu t produktet af de h første primtal, hvor h er 

 «t vilkaarligt givet tal. Vi kunne da bestemme m saa stor at 



m ^ h og 



Er endvidere P produktet af de m første primtal eller • 

 P = 2.3.5...k 

 •skulle vi vise, at der under P i hvert fald findes et primtal, 

 hvis differens fra det næst paafølgende er større end n. 



Man har, naar cp(P) betegner antallet af tal mindre end P 

 ■og indbyrdes primtal med samme: 



f^-0-l)0-l)-0-T) 



Overstiger differensen mellem hvert paahinanden følgende 



par af primtallene fra 2 og til k ikke n, saa blir hver faktor 



i ovenstaaende produkt mindre end den tilsvarende faktor i 



•Q eller 



cp(P) ^ t - 1 



P ^ 2 n t eller 



P > ncp(P) + -^ + ncp(P) 



Er endvidere p det største primtal mindre end P, saa blir 

 antallet af primtal efter k til og med p mindre end cp(P). 



