über eine besondere Klasse von Translationsfiilchen. 333 



unter sich congruenter und gleichgestellter Gurven enthalten^ 

 sondern deren mehr. 



Im vorigen Paragraphen haben wir gesehen, dass zu einer 

 Schar congruenter und gleichgestellter Curven c stets eine zweite 

 Schar congruenter und gleichgestellter Curven x gehört. Giebt 

 es nun noch eine dritte Schar ebensolcher Curven y, so muss 

 es notwendigerweise auch eine vierte Schar c geben, da jeder 

 Punkt von y bei der Verschiebung von y auf der Fläche eine 

 Curve beschreibt, und alle diese Curven nach den anfangs ge- 

 machten Erörterungen congruent und gleichgestellt sein müssen. 



Es wäre allerdings denkbar, dass die Curven C mit den 

 Curven c oder x zusammenfielen; man kann aber beweisen, dass 

 in diesem Falle eine Cylinderfläche entsteht. Setzen tvir näm- 

 lich voraus^ dass eine Translationsfläche durch Translation 

 zweier nicht congruenter Curven x und x^ längs einer Curve c 

 entsteht., so ist in eiaem beliebigen Punkte P auf der Fläche die 

 Tangentialebene schon durch die Tangenten von x und Xj_ 

 allein vollständig bestimmt. 



Diese sind längs c parallel. Also bleibt sich die Tangen- 

 tialebene der Fläche längs einer Curve c beständig parallel. 

 Demnach hat die Curve c lauter Tangenten parallel einer Ebene, 

 nämlich der Tangentialebene in P, d. h. c ist ehen. Ihre Ebene 

 ist die betrachtete Tangeritialebene. 



Nehmen wir nun au, c sei nicht eine Gerade, so ist diese 

 Ebene durch c vollständig bestimmt. Da nun durch jeden 

 Punkt der Fläche eine Curve c geht, so sind dann die Tangen- 

 tialebenen der Fläche sämtlich parallel. Die Fläche selbst ist 

 also eine Ebene, und das ist trivial. 



Ist andererseits c eine Gerade, so ist die entstehende Fläche 

 eine Cylinderfläche, da sie dann 90 parallele Gerade enthält. 

 Weiter könnte man noch zeigen, dass jede abwickelbare Fläche, 

 die Translationsfläche ist, eine Cylinderfläche ist. Es spielt 

 dies aber im späteren keine Rolle. 



