über eine besondere Kiaase von Translationsflächen. 337 



Erzeugungen hahen, doch sehen wir ab, hierüber weiteres zu 

 sagen ^). 



Wenn man in den Gleichungen (1) der Translationsfläche 

 ^2 festhält und ^i variieren lässt, so erhält man eine Erzeugende 

 der einen Schar c, umgekehrt eine der zugeordneten Schar x. 

 Entsprechendes gilt für die zweite Darstellung der Fläche in 

 ^3 und ^4- 



Um nun typische Formen von Translationsflächen mit vier- 

 facher Erzeugung zu erhalten, stellen ivir folgende Betrach- 

 tungen an. 



Es gilt der Satz : Eine Translations ßäche geht durch 

 lineare Transformation wieder in eine Translationsfläche Ober. 

 Es folgt dies geometrisch ohne weiteres daraus, dass eine 

 lineare Transformation parallele Strecken in parallele Strecken 

 überführt. Analytisch erhellt es auch sofort, denn wenn die 

 gegebene Translationsfläche diese ist: 



X = A(t) + A^(t), 

 y = B(t) -f B,(T), 

 z = C(t) 4- G,{x) 



Tind die lineare Transformation: 



x' = ax -j- by -j- cz -f- d, 

 (3) y' = ax + ßy + yz 4- h, 



z' = ox + by + Cz -j- b 

 ausgeführt wird, so kommt als neue Fläche : 

 x' = [aA(t) + bB(t) + cC(t) + d] + [aA^(T) -f- bB,(T) + cC,(t)], 

 y' = [aA(t) + ßB(t) + TC(t) + b] -f- [aA,(T) -[- ßB^(T) -{-^0^% 

 z' = [aA(t) -I- BB(t) -f cC(t) + bj 4- [ûA,(t) -f bB,(T) + cC,(t)], 

 und dies ist offenbar wieder eine Translationsfläche. 



^) Anmerkung : Eine Fläche hat, wie Lie zeigt, unendlich viele Er- 

 zeugungen, wenn die Curve 4. Ordnung in zwei Kegelschnitte zer- 

 fällt und sich ^1,^2 ^^^ ^^^ einen, ^3 und ^4 auf den andern 

 Kegelschnitt beziehen. 

 22 — Archiv for Mathematik og Naturv. B. 16. 



Trykt den 27 December 1893. 



