über eine besondere Klasse von Translationslliichen. 339 



nur in ihren Verhältnissen vor. Es geh()rt also die Trans- 

 formation (4) allgemein zur linearen Transformation: 

 x' = p(ax -j- by -|- cz -|- d), 

 (5) _ y' = p(ax + |3y -j- yz -f b), 



z' = p(ax -f 6y + cz -{- b), 

 in der p, d, b, b völlig beliebig sind. 



Angenommen, zu einer bestimmten Curve 4. Ordnung sei 

 eine .Translationsfläche gefunden, so bleibt die Curve 4. Ord- 

 nung ungeändert bei der identischen Transformation: 



bei der 



ist. 



Nach (5) gehört aber diese identische Transformation der 

 unendlich fernen Ebene zu den 00* projektiven Transformationen 

 des Raumes: 



x' = px + d^ 



(g) y' = py -|- b, 



z' = pz -j- b. 



übt man mithin auf die gefundene Translationsfläche die 

 00^ lineai^en Transformationen (6) aus, so erhält man stets 

 Translationsflächen zur selben Curve 4. Ordnung. 



Es ergiebt sich also: Zu einer und der seihen Curve 4. Ord- 

 nung gehören 00* Translationsflächen. 



Wenn also zwei Translationsflächen gegeben sind^ die zur 

 selben Curve 4. Ordnung gehören: 



X = A^(tJ + A^i^l X = Al%) + A^(t,), 



y = B,(tJ + B^Ct^), und y = B3(t3) -h B^(t,), 



z = C,(tJ + C,(tJ, z = C3(t3) + C,(t,), 



so muss es vier Constante p, d, b, b geben, so dass: 



