342 Georg Wiegner. 



§4. 

 Die Typen der Curven 3. Ordnung und ihrer Wendetangenten. 



Bei der Bestimmung der Typen von Curven 3. Ordnung 

 wollen wir nur reelle projeJäive Transformationen anwenden. 

 Bekanntlicli lässt sich jede nicht zerfallende Curve 3. Ordnung 

 durcli passende reelle projektive Transformation auf die Form 

 bringen : 



. (1) Tf = ^' + a^2 + b^ + c. . 



Es fragt sieb, ob wir a, b, c noch weiter specialisieren 

 können. Zu dem Zwecke haben wir zunächst alle reellen 

 projektiven Transformationen zu bestimmen, die die Form (1), 

 sowie die unendlich ferne Wendetangente ungeändert lassen. 

 Wir operieren hier immer in der unendlich fernen Ebene, deren 

 Punkte durch die Coordinaten ^, x\ gegeben werden. Um uns 

 bequem ausdrücken zu können, sprechen wir von unendlich 

 fernen Punkten in dieser Ebene, wenn wir die Punkte ins 

 Auge fassen, deren Coordinaten ^, \\ unendlich gross sind. 

 Faktisch ist ja die ganze Curve im Unendlichferuen gelegen. 

 Da der unendlich ferne Funkt der r\-Äxe WendepunJct ist, so 

 muss diese projeJäive Transformation die unendlich ferne Gerade 

 der ^x\-Ebene in Bidie lassen und auch den unendlich fernen 

 Punkt der r\-Äxe. Ersteres geschieht, wenn sie linear ist, d. b. 

 îvenn ihr Nenner eine Constante ist. Sie hat daher zunächst 

 die Form: 



^' = À^ + p) -h v. 



n' = p^ 4- ön -f T. 



Nun soll ^ = Const, in ^' = Const, übergehen (denn 

 ^ = Const, giebt alle Geraden durch den unendlich fernen 

 Punkt der r|-Axe), daher ist |a = 0. Also 'hat die projektive 

 Transformation die Form : 



^' = x^ 4- V, 



n' = p^ 4- ön -f -^1 



in der natürlich X 4= 0, ö 4= ist, oder aufgelöst : 



