über eine besondere Klasse von Translationsflächen. 347 



Bei der obigen Specialisierung der Grössen a, ß, y haben 

 wir in allen Fällen, mit Ausnahme des Falles a = ß = y den 

 verfügbaren Constanten X, j.i der Transformation bestimmte Werte 

 erteilt, wobei allerdings eine Quadratwurzel mit unbestimmtem 

 Vorzeichen vorkommt. 



Also erhellt, dass es keine projeMive Transformation giebt, 

 die die otige Form der GleicJmng der Curve 3. Ordnung nicht 

 ivesenilich ändert, ausser der trivialen ^^ ^= ^, v^ = — r[. Aus- 

 genommen ist nur der letzte Fall. Hier kann noch jede Trans- 

 formation von der Form: 



^' = \\ n' = ^'n 



angewendet werden. 



Unsere Transformationen bieten also nichts mehr zur 

 w^eiteren Bestimmung der noch in einigen Typen auftretenden 

 Constanten x, die daher wesentlich ist. 



§5. 

 Die Gestalt der ebenen erzeugenden Cur ven. 



Bevor wir nun die nach vorigem Paragraphen sich erge- 

 benden Translationsflächen einzeln besprechen, wollen wir zu- 

 nächst einige alle -diese Flächen betreffende allgemeine Be- 

 anerkungen machen. 



Es wird sich zeigen, dass in sämtlichen Fällen die Gestalt 

 der ebenen erzeugenden Curven dieselbe, nämlich eine Parabel, ist. 



Zunächst wollen wir allgemein annehmen, die Curve 4. Ord- 

 nung zerfalle in eine Curve 3. Ordnung und eine beliebige 

 Gerade, die also nicht notwendig Wendetangente sein soll. 



Die Gerade kann dann durch projektive Transformation in 

 die Gerade i) = verlegt werden. Alsdann lautet die Gleichung 

 der Curve 4. Ordnung also §o : 



F = ri(An' + Bn^ -1- Cn -f CO) = 0. 



Hierin ist A eine Constante, B, C und co sind ganze Funk- 

 tionen von ^ allein. B ist höchstens linear, C quadratisch, 



