372 Georg Wiegner. 



Abel'sche Integrale. Zur Aufstellung derselben benutzen wir 

 die gemachte Substitution für ^ und das daraus abgeleitete 

 Differential 



d^ = 2 sin 9 cos cp Acp. 



Zur Unterscheidung von den Integralen, die sich auf den 

 positiven Curvenzweig beziehen, bezeichnen wir die auf das 

 Oval bezüglichen Integralwerte mit <î», W, X und den Para- 

 meter mit ij). Zugleich wollen wir noch bemerken, dass wir 

 bei den noch folgenden Betrachtungen über diese Translations- 

 fläche die Integralwerte, die die Parabel darstellen und somit 

 aus dem Schnittpunkte der Geraden mit der Wendetangente 

 resultieren, mit O'^, ^'^, X'^ bezeichnen. 



Dann erhalten wir: 



Betrachten wir nun verschiedene Punkte der entstehenden 

 Translationsfläche. 



Zu einem reellen Punkte gehört immer eine reelle Tan- 

 gentialebene, also auch eine reelle unendlich ferne Gerade. 

 Diese trifft die Wendetangente stets in einem reellen Punkte. 

 Daher geht durch jeden Punkt der Fläche eine reelle Erzeugende, 

 nämlich eine Parabel und notwendigerweise auch die zur Parabel 

 gehörige zweite reelle Erzeugende. 



Es lassen sich mithin zwei Fälle unterscheiden: 

 I. Punkte mit vier reellen Erzeugenden, 

 II. Punkte mit zwei reellen Erzeugenden. 



Daneben giebt es noch die Übergangspunkte ; diese erfüllen 

 aber höchstens C urven, nicht Flächen, weil deren unendlich 

 ferne Geraden Tangenten an die Curve 3. Ordnung bilden. 



