380 Georg Wiegner. 



Zum Schluss fragen wir nocli, ob etwa durch eine Trans- 

 formation, die die Curve 3. Ordnung und die Wendetangente 

 in Ruhe lässt, aus der durch die Gleichungen (I), (II) und (II') 

 definierten Translationsfläche eine neue, in gestaltlicher Hin- 

 sicht von der ersten wesentlich verschiedene Fläche abgeleitet 

 werden könne. 



Wir sahen früher, dass in diesem allgemeinen Falle nur* 

 noch Transformationen gestattet sind von der Form: 

 x' ^ px -[- a, 

 y' = py + h, 



z' = pz -J- c, 

 worin x, y, z die in den Gleichungen (I), (II) und (li') vor- 

 kommenden Variablen bedeuten. 



Wir finden zunächst, dass durch Multiplikation der ur- 

 sprünglichen Veränderlichen mit der Grösse p nur eine Aus- 

 dehnung oder Zusammendrückung der Fläche bewirkt wird, so 

 dass eine Fläche entsteht, die sich von der ersten nicht in der' 

 Gestalt unterscheidet, sondern nur hinsichtlich der Grösse. Auf 

 diese Weise kann demnach eine wesentlich andere Fläche nicht 

 entstehen. 



Sodann ist klar, dass durch Addition von reellen Constanten 

 a, b, c zu den Gleichungen der Fläche nur eine andere Lage 

 der Fläche in Bezug auf das Coordinatensystem bedingt wird. 

 Durch Anwendung dieser Translation bleibt die ursprüngliche 

 Fläche also völlig unverändert. 



Lassen wir endlich x und y um imaginäre Grössen wachsen^ 

 so finden wir, dass bei dieser Annahme die stets vorhandenen 

 erzeugenden Parabeln imaginär werden, wovon wir aber absehen. 

 Als eiüzige Möglichkeit einer Transformation bleibt somit die 

 Vergrösserung der z-Coordinate um eine imaginäre Grösse. 

 Natürlich setzen wir auch hierbei voraus, dass durch Addition 

 einer imaginären Grösse die neue z-Coordinate selbst wieder 

 reell wird, wenn auch nur innerhalb beschränkter Grenzen. 



In unserem Falle hat z die Grösse: — eFcp. 



