über eine besondere Klasse von Translationsflächen. 381 



Da Fcp niemals imaginär werden kann, so kann es auch 

 nicht durch Hinzufügung einer imaginären Grösse reell werden. 



Wir finden demnach, dass es in diesem allgemeinen Falle 

 keine Transformation, auch keine imaginäre lineare giebt, die 

 unsere Translationsfläche in eine neue überführe, die gestaltlich 

 Avesentlich verschieden von der ersten wäre. 



§ 10. 



Der Fall : Eine Wurzel a ist reell, die beiden andern sind 

 conjugiert imaginär. 



In diesem Falle unterscheiden wir (nach § 4) drei Annah- 

 men, je nachdem a ^ 0, a <; und a = gesetzt wird. Die 

 sich ergebenden von einander verschiedenen Gleichungen der 

 Curve 3. Ordnung bedingen wesentlich verschiedene Translations- 

 flächen. 



Im Nachfolgenden geben wir die aus den Abel'schen Inte- 

 gralwerten folgenden Gleichungen der drei Flächen. Von einer 

 eingehenden Darlegung der Rechnung und von einer Be- 

 schreibung der Flächen sehen wir aber ab, da wir beides bei 

 der Besprechung des ersten allgemeinen Falles ausführlich gethan 

 haben und sich besonders der Gang der Entwickelung im vor- 

 liegenden Falle eng an den des Hauptfalles anschliesst. 



Für a ^ 0, |3 = a -|- ib, Y ^ a — ib lautet die Curven- 

 gleichung : 



F(^, n) = rf - ^{t - 2^ + X) = 0, 

 worin x ^ 1 zu wählen ist. 

 Es wird dann: 



F(n) = 2^ = 2/^(^^-25 4-^)- 

 .Für die Abel'schen Integrale ergeben sich folgende Werte: 



