20 Theorie der Transformations-Gruppen. 



Abschnitt I. 



Transformations-Grruppen einer einfach ausgedehnten 

 Mannigfaltigkeit. 



In meiner jetzigen Abhandlung, die den ersten Abscbnitt 

 meiner Theorie bildet, erledige ich ein allgemeines Problem, 

 das ich folgendermassen formulire: 



Prohlem. Bestimm die allgemeinste FunTction 

 f von œ und r Parametern a^ . . . üy, die eine Bedin- 

 gungs-Gleichung der Form 



f (f {æ a, . . . ar) h^ . . . h^) =- f (x cp^ . . . cp,) 

 wo die q> nur von den a und b abhängen, erfüllt. 



Dieses Problem kann übersichtlicher ausgesprochen wer- 

 den, indem man den Begriff Transformations-Gruppe, den 

 wir sogleich definiren, anwendet. 



Def. Eine Schaar von Transformationen 

 æ' ^ f {x a^ ... ar) 

 wo æ' die ursprüngliche, x die neue Variable, und die a Para- 

 meter bezeichnen, bilden eine Tr ans f or mations- G r up pe^ 

 wenn die Succession zweier Transformationen der Schaar mit 

 einer einzigen Transformation^ derselben Schaar äquivalent ist, 

 wenn also aus den Gleichungen 



æ' = f{æ a^ . . . a^ 

 æ'' = f {æ' b^ ... br) 

 hervorgeht 



æ" = f(æ <Pr . . . <pr) 

 wo die cp Funktionen der a und b sind. 



Im ganz analogen Sinne spricht man über Gruppen von 

 Transformationen zwischen mehreren Variabein 



In dieser ersten Abhandlung setzen wir indess immer 

 voraus, dass w = 1 ist. Um dies noch scharfer hervorzuheben, 

 sagen wir zuweilen, dass wir hier Transformations-Gruppen 

 einer einfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit behandeln. Die 



