Sophiis Lie. 21 



folgenden Abschnitte sind den Transformations-Gruppen einer 

 mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit gewidmet. 



Def. 'Eine Transformations-Oruppe mit r Parametern 

 æ' = f{x «1 . . . . «!•) 

 soll r-gliedrig heissen, wenn f keine liïieare partielle Differen- 

 tial- Gleichung der Form 



2h ^k («1 . . . ar) T-' = 



befriedigt, wenn es also %inmöglich ist, die Zahl r durch Ein- 

 führung neuer Parameter zu erniedrigen. 



Mit Anwendung dieser Terminologie lässt unser Problem 

 sich auch folgendermassen formuliren: 



Bestimm alle r-gliedrige Transformations-Grup- 

 pen einer einfach ausgedehnten Mannigfaltigheit. 



Es ist leicht eine allgemeine Operation anzugeben, die 

 dazu dient, aus einer gegebenen Gruppe 

 æ' = f{æ a^ . . . ar) 

 neue solche herzuleiten. Bezeichnet man in der That mit g) 

 und ^ zwei beliebige inverse Funktionen, so bestimmt die 

 Gleichung 



æ' = ^f{q}(æ) «1 . . . . <ïr) = F(æ a^ . . . «r) 

 wie man unmittelbar verificirt, immer eine neue Transforma- 

 tions-Gruppe. Dabei ist zu bemerken, dass die erste Gruppe 

 die Form 



æ' = (pF{ø{æ) a^ .... ai) 

 erhalten kann, so dass die Beziehung zwischen den beiden 

 Gruppen eine gegenseitige ist. 

 Def. Zwei Gruppen 



æ' = f{æ a^ . . . . ar) 

 æ' = F{æ rt, . . . . rtr) 

 heissen aehnlich, wenn die letzte Gruppe die Form 



æ' = ^ficp{æ) «1 . . . ar) 

 wo (p und inverse Funktionen sind, annehmen kann, und also 

 auch die erste Gruppe die Form 



