22 Theorie der Transformations-Gruppen. 



æ* = cp F{^{æ) <2i . . . a,.) 

 erhalten kann. 



§ 1. 

 Torberöitende Entwickelungen. 



Wir unterwerfen die Parameter einer r-gliedrigen Gruppe 



x' = f{x a^ . . . . Clr) 



der Gleichung 



die nicht identisch stattfinden kann, wenn x^ eine allgemeine 

 Constante bezeichnet. Finden wir sodann durch Auflösung 



«r = W{xq a^ . . . a,), 

 so behaupte ich, dass die Gleichung 



x' = f{x a^ ... «fr- 1 '^) = F {x a^ . . . «r-l) 



eine {r — i)-gliedrige Transformations-Gruppe bestimmt. 



Nach unserer Voraussetzung, dass x' =- f eine r-gliedrige 

 Gruppe ist, besteht nemlich eine Kelation der Form. 



F {F{x «1 . . . ai-i) &.1 ■ • • &i-i) = f{x c^ . . . Cr), 

 wo die c Funktionen von a^ . . . ar-i b^ . . . b^—i sind. 

 Und da identisch 



F (a?ü «1 . . . «1— i) = Xq 

 ist, kommt 



Xq = / {Xq C^ ... Ci) 



woraus 



f{XCj ... Cr) = jP(a? Cj . . . (?r-0 



SO dass 



F {F{X «1 . . . «r-O fci . . . Z'r-l) = i^(^ Ci . . . <?r-l). 



wird, womit die Richtigkeit unserer Behauptung erwiesen ist. 

 Dies giebt das folgende wichtige Theorem. 



Theorem I. Jede r-gliedrige Transformations- 

 Gruppe einer einfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit 

 enthält einfach unendlich viele (r — l)-gliedrige Unter- 

 gruppen. Jede Transformation der vorgelegten Grujjpe 

 gehört einer solchen Untergruppe an. 



