Sophus Lie. 23 



Indem wir diesen Satz mehreremal anwenden, erhalten 

 wir folgendes 



Gorollar. Jede r-gliedrige Transformations-Gruppe einer 

 einfach ausgedehnten Mannigfaltigheit enthält oo^—'^ einglie- 

 drige Untergruppen. Jede Transformation der vorgelegten 

 Gruppe gehört einer solchen Untergruppe an. 



In den folgenden Paragraphen werden wir beweisen, dass 

 jede r-gliedrige Transformations-Gruppe od'-^ infinitesimale 

 Transformationen enthält. Hier schicken wir die folgenden 

 Bemerkungen über infinitesimale Transformationen voraus. 



Eine Transformation heisst infinitesimal, wenn sie die 

 Form 



æ' = X -h F{æ) at 

 besitzt, wo ôt eine infinitesimale Grösse ist. Wir schreiben 

 halifig die letzte Gleichung folgendermassen 

 åæ = Fix) ôt. 



Zwei infinitesimale Transformationen 



öx = JC^ ôti, ÔX = X^ öt^ 

 sind als identisch zu betrachten, wenn das Verhältniss X^ : X^ 

 eine Constante ist. 



Lass uns voraussetzen, dass eine Transformations-Gruppe 

 zwei unabhängige infinitesimale Transformationen 



ôœ = JTj ôti, ÔX = JSTg ôt2 

 enthält. Anwenden wir nun zuerst die eine, sodann die an- 

 dere Transformation, so ist diese Succession, wenn man von. 

 infinitesimalen Grössen zweiter Ordnung wegsieht, aequivalent 

 mit der Transformation - 



ÔX = X]^ dij + ^2 ôt^, 

 welche also unserer Gruppe angehört. Und wenn man das 

 Verhältnis ôt^ : dig von o bis od variiren lässt, so erhält 

 man ^^ infinitesimale Transformationen, die folglich der Gruppe 

 angehören. 



Wir sagen, das r infinitesimale Transformationen 



