24 Theorie der Transformations-Gruppen. 



ÔX = X^Öt^ . . . . ÔX = JCrÔtr 



Ton einander unabhängig sind, wenn keine Relation der 

 Form 



Cj Jfj + + Cr Jir = 



mit Constanten Coefficienten stattfindet. Enthält eine Trans- 

 formations-Gruppe r solche Transformationen, so enthält sie 

 nach den vorangehenden Entwickehingen zugleich jede infini- 

 tesimale Transformation der Form 



da? = (Cj JTi + . . . . + CrJCr) 6t 



das heisst, sie besitzt c-o^-^ infinitesimale Transformationen. 



In gewissem Sinne kann man sagen, dass die oc'-' infi- 

 nitesimale Transformationen, die durch die letzte Gleichung 

 definirt werden, wenn man überhaupt die Jl als gewisse 

 Funktionen von x, die c als Constanten auffasst, eine 

 Transformations-Gruppe bilden, insofern die Succession 

 zweier solchen Transformationen, wenn man von infinitesi- 

 malen Grössen zweiter Ordnung wegsieht, mit einer einzigen 

 Transformation derselben Schaar aequivalent ist. Da indess 

 derartige Schaaren von Transformationen kein besonderes 

 Interesse bieten, fügen wir zu unserer Definition des Be- 

 griffs Transformations-Gruppe noch die Forderung hinzu, dass 

 die Transformationen der betreffenden Schaar nicht sämmtlich 

 infinitesimal sein dürfen. 



Zugefügt soll noch sein, dass wir unsere Untersuchungen 

 auf solche Transformations-Gruppen 



^' = /(^ a^ . . . ür) 



beschränken, deren charakteristische Funktion / für allge- 

 meine Werthe der a und o; differentiirbar ist. 



§ 2. 

 Die eingliedrige Gruppe. 



Ist 



x' = /(œ a) (1) 



