Sophus Lie. 25 



die Definitions-Gleichung einer eingliedrigen Gruppe, das 

 beisst, besteht eine Fimktional-Relation der Form 



f{f{æ h) a) - /{æ cp (a b)), 

 so darf q) keine Funktion von b allein sein. Wäre nemlicb 

 dies der Fall, so käme durch Differentiation hinsichtlich a 



da 

 woraus durch Integration 



/(/, a) - F (/), 

 wo F gar nicht a sondern nur / enthielte; also wäre auch 



f(æ a) <= F(æ), 

 welche Gleichung sagen würde, dass die Gleichung (1) keine 

 Parameter enthielte, und also keine eingliedrige Gruppe defi- 

 nirte. Dies giebt 



Satz 1. Istf eine Funktion von zwei unabhängigen Varia- 

 bein X und a, die eine Relation der Form 



f{f(œ b) a) =/(^ cp{ab)) 

 erfüllt, so kann q) nicht allein von b, sondern muss auch von 

 a abhängen. Durch zweckmässigen Wahl von a kann daher q) 

 eine jede Funktion von b werden. 

 Insbesondere können wir 



q){a b) = b 

 setzen. Bezeichnen wir den entsprechenden Werth von a mit 

 «o, so kommt 



f{f(w b) a„) = f(x h) 

 und also auch 



f(æ «o) = x, 

 wo «o offenbar von b unabhängig ist. Folglich bestimmt die 

 Gleichung 



æ' = f{æ rto) 

 eine identische Transformation. Also 



Satz 2. Jede eingliedrige Gruppe enthält eine identische 

 Transformation. 



Ferner können wir 



