2<'> Theorie der Transformations -Gruppen. 



q)(a b) = ao 

 setzen. Bezeichnen wir den entsprechenden Werth von a, der 

 von b abhängt, mit ß, so kommt 



f{f(æ b)ß) = f{æ cp{ßb))= f {CG ao) = æ, 

 welche Gleichung sagt, dass die Succession der beiden 

 Transformationen 



æ' = f{æ b) und cV"= f{æ ß) 

 mit der identischen Transformation der Gruppe aequivalent 

 ist, oder anders ausgesprochen, dass jene beiden Transfor- 

 mationen invers sind. Dies giebt 



Satz 3. Enthält eine eingliedrige Gruppe eine gewisse 

 Transformation, so enthält sie auch die inverse Transformation. 



Nach Satz 2 enthält die Gruppe æ' = f{æ a) eine iden- 

 tische Transformation, die dem Parameterwerthe ao entspricht. 

 Folglich liegt die Vermuthung nah, dass die Substitution 



« = «0 + cj 

 wo Qu eine infinitesimale Grösse bezeichnet, eine infinitesimale 

 Transformation bestimmt. Dies lässt sich doch nicht mit 

 Sicherheit schliesseu, insofern es denkbar wäre, dass / für 

 a = a,^ discontinuirlich wäre. Folgendermassen sieht man in 

 string-enter Weise, dass jede eingliedrige Gruppe eine infi- 

 nitesimale Transformation enthält. 



Brauchen wir ß und œ in derselben Bedeutung wie 

 soeben, so kann der Ausdruck 



/(/(*' h)ß + OD) 



für einen allgemeinen Werth von b oder was auf dasselbe 

 hinauskommt, für einen allgemeinen Werth von ß nur unend- 

 lich wenig von 



f{f{æ b)ß) = f{æ «o) = -» 

 verschieden sein. Daher kann die Transformation 



æ' = f {fix b) ß + oo) 

 die Gestalt 



H f {f «)1 



æ' = œ + GO --•^•'— ^ 



X. da Ï {a = ß) 



oder 



