Sophus Lie. 29 



oder wenn wir mit <? die inverse Transformation von q) 

 bezeichnen, ' 



x' = ^( cp{x) + a). 

 Auf der anderen Seite verificirt man unmittelbar^ dass jede 

 Gleicbung dieser Form, in welcher q) und ^ inverse Funk- 

 tionen sind, eine eingliedrige Gruppe bestimmt. Dies giebt 

 Satz 7. Die Gleichxmg 



(5) (pip') = ?''(^) + ^'. 



deßnirt immer eine Gruppe, und alle eingliedrigen Gruppen 

 besitzen diese Form. 



Differentiiren wir Gleichung '(4), kommt 



^ ' cp' \x) 

 Also kann Xix) durch passende Bestimmung von q){x) eine 

 jede Funktion von x werden. Und da jede eingliedrige 

 Gruppe eine infinitesimale Transformation enthält, können 

 wir den folgenden Satz aussprechen: 



Satz 8. Jede infinitesimale Transformation 

 ÔX = X(x) öt 

 gehört einer eingliedrigen Gruppe an, nemlich der folgenden 



J^' dx P^ dx 



X(i) = j jm 



Es ist leicht zu erkennen, dass alle eingliedrigen Gruppen 

 aehnlich sind. Führt man nemlich eine neue Variable 



y = (pi^) 

 ein, so nimmt (5) die einfache Gestalt 



y' = y + a 

 an. Dies giebt 



Theorem 2. Alle eingliedrigen Transformations- 

 Gruppen einer einfach ausgedehnten Mannigfaltig- 

 keit sind aehnlich. Inbesondere können sie die ge- 

 meinsame Form 



x' = X + a 

 annehmen. 



+ a. 



