Sophus Lie. 31 



df{f a^ a ^) ^ ^ å f {f «2, ff j ^ ^ 



und durch Integration 



/(/ «1 «2) = ^u\ 



und also auch 



fix «1 «2) = 0.{sc). 

 Eine solche Form darf / indess auch nicht besitzen, da 

 x' = f{x a, a^) eine zweigliedrige Gruppe bestimmen soll. 



Hiermit ist die Richtigkeit unserer Behauptung nach- 

 gewiesen, und daher können wir den folgenden Satz aus- 

 sprechen : 



Satz 9. Ist 



x' = f(x «1 «2) 

 die Gleichung einer zweigliedrigen Gnq^pe, so dass eine Funk- 

 tional- Relation der Form 



/{fix Z>, h.,) «1 «2) = fiæ cp^ qj.^) 

 stattfindet^ wo die q) nur von den a und b abhängen, so kann man 

 immer a^ und a.^ derart tvählen, dass q)^ und cp^ gleich beliebig 

 gegebenen Funktionen von b^ und b^ tvêrden. 

 Insbesondere können wir 



(Py(a^ a.2 &j ?>2) = &i, «poC^'^i *2 ^1 ^2) ^ ^2 

 •setzen. Bezeichnen wir die entsprechenden Werthe der a 

 mit al und a^, so kommt 



/{fix b, b.^) a? «0) =.f{xb^ b.f) 

 und also auch 



f{x a\ al) = X 

 wo a\ und a% offenbar von &, und b^ unabhängig sind. 

 Folglich bestimmt die Gleichung 



x' = f{x a\ a%) 

 eine identische Transformation. Dies giebt 



Satz 10. Jede ziveigliedrige Gruppe enthält eine identische 

 Transform.ation. ^) 



') Unser Räsonnement scbliesst niclit die Möglichkeit aus, dass einfach 

 unendlich viele Werth-Systeme «1 a^ eine identische Transformation 

 gäben. Dass dies doch nie der Fall ist, wird Süäter gezeigt. 



