32 Theorie der Transformations-Gruppen. 



Ferner können wir 



setzen. Bezeichnen wir die entsprechenden Werthe der a, 



die offenbar von den h abhängen, mit /3, und /S^, so kommt 



f{f{x b, b,) ß, ß,) = f{x a\ al) ^ X, 



welche Gleichung sagt, dass die Succession der beiden 

 Transformationen 



X' = f{x b, b.,) und X' = fix ß, ß.^) 

 mit der identischen Transformation der Gruppe aequivalent 

 ist; oder anders ausgesprochen, dass jene Transformationen 

 sich aufheben. Also 



Satz 11. Enthält eine zweigliedrige Gruppe eine gewisse 

 Transformation, so enthält sie auch die inverse Transfortnation. 



Wusste man a priori, dass / für a^ = a\, a.^ = a^ einen 

 Differential-Quotient hinsichtlich a^ und a.^ besässe, so könnte 

 man den Ausdruck 



f{x «J + (»1 a^ + 00.^) 

 wo Wi und QD„ zwei von einander unabhängige infinitesimale 

 Grössen bezeichnen, auf die Form 



fix al al) + G?, \^ + oü, \^] 



bringen. Und dann enthielte die Gruppe die infinitesimale 

 Transformation 



die jedenfalls der Form nach einen Parameter — i besitzt. 



Um in stringenter Weise nachzuweisen, dass jede zwei- 

 gliedrige Gruppe einfach unendlich viele infinitesimale Trans- 

 formationen enthält, verfährt man am besten folgendermassen. 

 Brauchen wir ß^ ß^ 00^ und qd.^ in derselben Bedeutung wie 

 soeben, so kann der Ausdruck 



f{f{X b^ b.,) ß,+GO^, ß.,+co.,) 



für allgemeine Werthe der Grössen b, oder was auf dasselbe 



