Sophus Lie. 33 



h'nauskommt, für allgemeine Werthe der Grössen ß auf die 

 Form 



gebracht werden, wo die mit œ , und gd^ multiplicirten Grössen, 

 die wir der Kürze wegen Y^ und Y^ nennen werden, nach 

 der Substitution a-i = ßi, allein von x, b^ und b^ abhängen. 

 Es ergiebt sich in dieser Weise, dass unsere Gruppe die infini- 

 tesimale Transformation 



ÔX = coi Yi + Gû^ Y^ 

 enthält; und wir werden zeigen, dass die letzte Gleichung je 

 nach dem Werthe des Verhältnisses oûficj^ einfach unendlich 

 viele distinkte infinitesimale Transformationen darstellt. Exi- 

 stirte in der That eine Kelation der Form 



so könnte man sie, indem man nicht wie früher x b^ und b^t 

 sondern /, ß-^ und ß^ als unabhängige Variabein betrachtete, 

 auf die Form 



bringen, woraus durch Integration 



fif ßi ßo) = F(f, w iß, /?,)) 

 und also auch 



f(x a, a^) = F(x, w {a, a^)) . 

 folgen würde. Dies steht aber im Widerspruche mit der 

 Annahme, dass a?' = /(a; «^ a.^) die Definitions-Gleichung einer 

 zweigliedrigen Gruppe sein soll. In ganz entsprechender 

 Weise erkennt man, dass Y, und Y^ nicht beide verschwinden 

 können, denn aus 



djilß^^ßj ^ ^ d fif ß, ß ^) _ 

 dß, ^' " dß, - ^ 



würde folgen 



/(/ ß. ß^) = F (/) 

 und also auch 



fix a, a^) = Fix) 



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