,34 Theorie der Transformations-Gruppeu. 



was mit der Annahme, dass unsere Gruppe zweigliedrig ist, 

 im Widerspruche steht. Dies giebt 



Satz 12. Jede zweigliedrige Gruppe enthält lxj^ infinitesi- 

 male Transformationen. 



Jetzt führe ich zuerst eine endliche Transformation 

 x' = f{œ a^ «2) 

 der Gruppe aus, sodann eine beliebige unter den zugehörigen 

 infinitesimalen Transformationen, etwa die folgende 



ÔX = jr{x) ôt. 

 Die mit dieser Succession aequivalente Transformation 



x" ^ f{x aj_ a^) + J^{x') ôt 

 gehört, wissen wir, der Gruppe an und kann daher die Form 



x" = f(x, «1 + da^ «2 + da^) 

 erhalten. Und da / nur für Ausnahmswerthe von a^ und a.^ 

 discontinuirlich sein kann, folgt 



X(x') ôt = -,-— da. + -y^~ da^ 

 da^ da^ 



oder, wenn wir mit ôt dividiren, und x' durch / ersetzen 



wo M^ und M^ gewisse Funktionen von a^ und «., sind. 

 Also können wir den folgenden Satz aussprechen: 



Satz 13. Gehört die infinitesimale Transformation ôx = 

 J^{x) ôt der ziveigliedrigen Gruppe x' = f{x a, a.-^) an, so ist 

 JC(/) gleich der Summe von f 's Differential- Quotienten hin- 

 sichtlich a ^ und «2 5 niultiplicirt mit gewissen Funktionen der a. 



Sind 



ÔX = X^{x) ôt^, ôx = :^^(x) ôt., 

 zwei von einander unabhängige infinitesimale Transforma- 

 tionen unserer Gruppe, so bestehen also Gleichungen der 

 Form 



'^*' ^ ^ dai da.^ 



àf . ^r àf ^ 



XU) = M, ^i- + Jf2 



x^U) = -^1 :7f- +^^ 



da^ da,^ 



