Sophus Lie. 35 



imd da keine Relation der Form 



stattfinden darf, findet man durch Auflösung 



^ - A,X,{f) + A^X^{f) 



da (7) 



^^ = B,X,{f) + B^X^if) 



wo wieder die A und B nur von a, und ct^j abhängen. 

 Dies gieht 



Satz 14. -S'mr^ 



5a; = Xyios) 6t^, Sx = XgCa;) ôt^ 

 zivei von einander unabhängige 'infinitesimale Transformationen 

 der Gruppe x' = f{oc a^ a^), so drücken die Differential- 

 Quotienten von f hinsichtlich, a^ und æ.^ sich als Summen der 

 Grössen Xi(/) und X^(f) multiplicirt mit gewissen Funktionen 

 der a aïis. 



§4. 

 Allgemeine Form der zweigliedrigen Gruppen. 



Der vorstehende Satz gieht die Grundlage für die Be- 

 stimmung der allgemeinen Form der zweigliedrigen Gruppen. 



Die Funktion / befriedigt die Gleichungen (7) ; und da 

 / nicht allein von den a, sondern auch von æ abhängt, so 

 müssen jene Gleichungen die bekannte Integrabilitäts-Bedin- 

 gung, die in diesem Falle die Form 



(A^ B, - A, B^) (X, X^' - X2 XjO + 



dAj^ __dB, ^ dA^ _ <^jx^ = 



da^ da^ ^ da^ aa^ 



annimmt, erfüllen. 



Diese Relation lässt sich in mehrere zerlegen. Wir be- 

 merken zunächst, dass die Determinante A^ By — A^ B^ 

 von Null verschieden sein muss ; sonst nemlich existirte wegen- 

 (7) eine Relation der Form 



^^^""^ ^^^ £; ^ ^-^^' ^^) li = ' 



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