36 Theorie der Transformations-Gruppen. 



woraus die unmögliche Gleichung 



/ = F{æ w{a^ a,)) 

 folgen würde. 



Dividiren wir daher unsere Integrabilitäts-Bedingung mit 



Ä^Bi — ^1^2, kommt 



X, X^' - X2 Xi' = mi Xi + m^ X^ (8) 



wo 





(9) 



und da die linke Seite der Gleichung (8) wie auch Xi und 



X2 nur von æ abhängen, so müssen Wj und m.^ Constanten 



sein. Zu bemerken ist noch, dass m^ und m^ nicht beide 



gleich Null sein dürfen, denn aus Xj X^' — X, X^' = 



würde folgen 



X| = Const X2, 



was mit unserer Voraussetzung, dass unsere beiden infinitesi- 

 malen Transformationen von einander unabhängig sind, im 

 Widerspruche steht. Also 



Satz 15. Sind ôx = X^(x)6ti und ôx = X^{x)ôt2 zwei 

 unabhängige infinitesimale Transformationen einer zweigliedrigen 

 Oruppey so ist 



Xi Xa' — JT^ X^' = m^ JTi + m^ X^ (8) 



wo m,y und m^ Constanten sind, unter denen jedenfalls die eine 

 von Null verschieden ist. 



Durch zweckmässigen Wahl der beiden infinitesimalen 

 Transformationen kann die eben gefundene Relation eine noch 

 einfachere Gestalt erhalten. Man setze in der That, wenn 

 etwa m^ von Null verschieden ist, 



mj Xi + m^ X2 = ^1 . — ^2 = ^2 ; 



alsdann sind die beiden infinitesimalen Transformationen 



ÔX = y^ dr-i , ÔX "• Y^ dr^ 

 von einander unabhängig, und gehören dabei unserer Gruppe 



