wird, und findet so 



'^ dx 



Sophus Lie. 39 



a\ + al &{æ) 



'und durch Elimination von {x) 

 oder wenn man 



^1 ^-2 ^2 <^? _ ^2 



ct.. — ^^ , «2 ~ 



' "'^ 



2 "2 



als neue Parameter einführt: , 



('f df _ f a,- dæ 



^^(f) - ^> ^ ^^ J X, {X) • 

 Führt man endlich x' statt / ein, so findet man die Defini- 

 tions-Gleichung- der Gruppe 



J-'k' dx' _ Px dx 



"xjx^^''^ "-""^ j :^rw 



womit folgender Satz bewiesen ist. 



Sats 17. Gehören die beiden infinitesimalen Transforma- 

 tionen 



ÔX = -Xi{x) ôti, ÔX = -S'a (ä;) ôt^ 



einer zweigliedrigen Gruppe an, und hat dabei die zwischen 

 JCi und JC.2 stattfindende Relation die Form 



so ist 



Jx' dx /*^ dx _ 



xj^) == ^^ ■" ^^ J xTi^) 



die Gleichung der Gruppe. 

 Setzen wir 



J^xrlr = ^(^' <'"> 



und bezeichnen mit ^ die inverse Funktion von cp, so nimmt 

 unsere Gruppe die Gestalt 



x' = ^{a^ + «2 9^^) )• 

 Auf der anderen Seite verificirt man unmittelbar, dass 

 jede Gleichung- dieser Form, in welcher q> und <? inverse 



