40 Theorie der Transformations-Gruppen. 



Funktionen bezeichnen, eine zweigliedrige Gruppe bestimmt. 

 Dies giebt 



Sats 18. Die Gleichung 



g) (x') = «1 + a^ cp {oc) (11) 



bestimmt immer eine zweigliedrige Gruppe, und alle zweigliedrigen 

 Gruppen können auf diese Form gebracht werden. 



Die identische Transformation der Gruppe (11) wird offen- 

 bar erhalten, wenn man 



«i = 0, «2 = 1 

 setzt. Geben wir nun a^ und a^ unendlich benachbarte 

 Werthe 



so erhält man die Transformation 



q) {oo') = (p {oc) + töjL + C0.2 (p (x), 

 die offenbar die Form 



qy{x) '- q) [x) 



annehmen kann, und daher infinitesimal ist; giebt man dem 

 Verhältnisse g?j \ co^ successiv verschiedene Werthe, so erhält 

 man alle ^ infinitesimale Transformationen der Gruppe. 

 Also 



Satz 19. Die infinitesimalen Transformationen der Gruppe 

 cp{x') = a^ + a^q){x) 

 werden bestimmt durch die Gleichung 



OX = ■ 77 — r + OCa - 77 r. 



(p'(x) ^ (p W 



Ich betrachte nun zwei infinitesimale Transformationen 

 (12) oæ -= Xj {x) öti 6x = Xj (x) dt^ 



die in solcher Beziehung stehen, dass 



Xj X2' — Xg Xj' = X| 

 und also 



^ ^ ^' J "xr 



ist. Ich wähle eine solche Funktion V (^)j dass 



