und also 



Sophus Lie. 41 



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= X, 



4>' (oc) 



ist. Alsdann gehören nach dem vorangehenden Satze unsere 

 beiden infinitesimalen Transformationen (12) der Gruppe 



an. Dies giebt 



Satz 20. Stehen die beiden infinitesimalen Transforma- 

 tionen 



ÔX - JT, (ic) <5i, ÔX = X^ (æ) ôt^, 

 in solcher gegenseitigen Beziehung, dass 



Xj X^' — X2X/ = X^ 

 istt so gehören sie einer zweigliedrigen Gruppe an. 



Dieser Satz lässt sich verallgemeinern. Stehen in der 

 That zwei Funktionen von x : X^ und X^^ in der Beziehung 



X, X^' — X2 X/ = m, X, + m^ X^, 

 wo m^ und m^ Constanten sind, unter denen jedenfalls die 

 eine etwa m^ von null verschieden ist, so ist, wenn wir 



m, X. + m., ^o = ï^i, -STi = 5^* 



11 _ _ ^ m^ ' 



setzen, 



Y Y ' Y Y ' = Y 



Also können wir den folgenden Satz aussprechen: 



Satz 21. Sind 



ÔX = Xy [x) öij, dx = X^ {00} ôt^ 

 zwei infinitesimale Transformationen, die in solcher Beziehung 

 stehen, dass 



Xj X^' — X.j X,' =• m, Xi + mg X^ 

 ist, wo m^ und m^ Constanten sind, unter denen jedenfalls die 

 eine von Null verschieden ist, so gehören unsere infinitesimalen 

 Transformationen einer gewissen zweigliedrigen Gruppe an. 



Die Gruppe 



