42 Theorie der Transformations-Gruppen. 



(p{pc') = «1 + a.,q){œ) 

 nimmt, wenn wir eine neue Variable 



y = (p{;X) 



einführen, die einfache Gestalt 



y' = a^ + a.^ y 

 an. Dies giebt 



Theorem 3, Alle zweigliedrigen Gruppen einer ein- 

 fach alisgedehnten Mannigfaltigkeit sind aehnlich. 

 Insbesondere können sie die gemeinsame Form 



Cß' = a^ + «2 ^ 

 annehmen. Die einfach unendlich vielen infinitesi- 

 malen Transformationen der Gruppe sind definirt 

 durch 



dæ = üo^ + 00^ oc 

 wo 03, und CO2 beliebige infinitesimale Grössen be- 

 zeichnen. 



Einfachere Bestimmung der zweigliedrigen Gruppen. 



Ich werde jetzt zeigen, wie man, indem man Theorem 1 

 zu Hülfe nimmt, durch einfachere Rechnungen die allgemeine 

 Form der zweigliedrigen Gruppen bestimmen kann. 



Ist 



æ' = f{æ «1 a.^) 

 eine zweigliedrige Gruppe, und giebt die Gleichung 



aufgelöst hinsichtlich a„ 



a.2 = iP(Xq aj, 

 so bestimmt nach dem eben citirten Theoreme (sieh den Be- 

 weis des Theorems I) die Gleichung 



x' ^ f(æ aj ^ (Xq «1)) = F{ai x^^), 

 in welcher æ^ als Constante betrachtet wird, eine eingliedrige 

 Untergruppe. Wir bemerken, dass æ^^ nothwendigerweise in 

 ip und also auch in i^ eingehen muss, indem sonst f(^x a^ a.j,) 



