Soplius Lie. 43 



die Form œ + iv {a^ a^) besässe. Fasst man daher in F 

 sowohl a?o wie a-^ als Parameter auf, so ist 



x' = F{x a^ Xq) 

 eine neue Form der zweigliedrigen Gruppe. 



Daher kann die Bestimmung der allgemeinen Form der 

 zweigliedrigen Gruppe in der Weise geschehen, dass man die 

 allgemeine Form der einfach unendlich vielen eingliedrigen 

 Untergruppen 



x' = F{x a^ Xq) 

 sucht, und hinterher die beiden Parameter als gleichberech- 

 tigt auffasst. 



Jede eingliedrige Untergruppe enthält (Satz 4) eine infi- 

 nitesimale Transformation, die eo ipso der zweigliedrigen 

 Gruppe angehört. Und da eine eingliedrige Gruppe durch 

 ihre infinitesimale Transformation völlig bestimmt ist, schlies- 

 sen wir 



Satz 22. Jede unter den einfach unendlich vielen inßnite- 

 iimalen Transformationen einer zweigliedrigen Gruppe gehört 

 einer durch sie bestimmten eingliedrigen Untergruppe an. 



Wir entnehmen nun den früheren Entwickelungen den Satz, 

 dass jede zweigliedrige Gruppe zwei infinitesimale Transfor- 

 mationen 



ôx = X^ ôti, ÔX = X^ St^ 

 enthält, die in der Beziehung 



Xy X^' X^ X^ = Xj 



stehen, so dass 



X, = X, f ^ 



ist. In Folge dessen bezitzt die allgemeine infinitesimale Trans- 

 formation der betreffenden Gruppe die Form 



ÔX = (À X, + X, f ^) dt - Tôt, 



und die zugehörige eingliedrige Gruppe wird nach Satz 8 



definirt durch die Gleichung 



