46 Theorie der Traasformations-Gruppen. 



f {f a^ a.2 «3) - £1 {oG %u^ {a^ a., a^) tu.^ (a^ a^ a^)) 

 und also auch 



f{X «, «2 ^3) = -ß ("^ y-'l Wo)- 



Eine solche Form darf aber / nicht besitzen, da nach unserer 

 Voraussetzung æ' = f{æ a^ a^ a^) eine dreigliedrige Gruppe 

 sein soll. 



Existirten zwei Eelationen zwischen den a> und h, so würde 

 (13) die Form 



/ if [00 ^1 &2 ^3) ^i «2 «3) = F{æ &i h.^ &3 <pi) 

 annehmen. Differentiirte man daher hinsichtlich der a, so 



würde man durch Elimination von ^ zwei Gleichungen der 



Form (14) erhalten. In Folge dessen würde 



/(/ «1 «2 «3) = D.{oß IV {a^ «2 ^3)) 

 und also auch 



f {x a^ «2 «3) = D,{x w) 

 sein, was wieder mit unserer Annahme, dass die Gleichung 

 od' = f{£o «1 «2 «3) eine dreigliedrige Gruppe bestimmen soll, 

 in Widerspruche steht. 



Existirten endlich drei Relationen zwischen den q) und 5, 

 so würde (13) die Gestalt 



/ (f{æ &! &2 ^3) «1 «-2 «3) = -^(^'^^ ^1 *-2 ^3) 



annehmen, woraus 



df(f tti a^ ctg) ^ Q 



und 



/(/ «1 «2 »3) = ii (/) 



und also auch 



was wieder unmöglich ist. 



Hiermit ist die Wahrheit unserer Behauptung nachgewiesen, 

 und daher können wir den folgenden Satz aussprechen: 



Satz 23. Ist 



x* = f {x a^ «2 ^3) 



