Sophus Lie. 47 



die Gleichung einer dreigliedrigen Gruppe, so dass eine Rela- 

 tion der Form. 



f (fix h^ h.r 63) «1 «2 «3) = /(''» (Pi 9-1 ^z) 

 stattfindet^ wo die cp nur von den a und h abhängen, so kann 

 man immer die a derart wählen^ dass die (p gleich beliebig ge- 

 gebenen Funktionen der b werden. 

 Insbesondere können wir 



q)H{a-^^ a.2, «3 by b.^ ^3) "= ^^^i 

 setzen. Bezeichnen wir die entsprechenden Werthe der a bez. 

 mit a^ a^ a^, so kommt 



/ (/G^^ h b^ b.) a\ a.o Ul) = fix b, 6, b^) 

 und also auch 



f{æ al al aÔ) = æ, 

 wo al al al offenbar von den b unabhängig sind. Folglich 

 bestimmt die Gleichung 



æ' = /(^^ a? al al) 

 eine identische Transformation. Dies giebt 



Sats 24. Jede dreigliedrige Gruppe enthält eine identische 

 Transformation. 



Ferner können wir 



cpnia^ «5j «3 by b.2 ftj) = an.^ 

 setzen. Bezeichnen wir die entsprechenden Werthe der a, die 

 von den b abhängen, bez. mit ßy ß^ ß^, so kommt 



/ {f{æ by b^ b,) ßy ß^ ß^) = f(æ a\ a?^ a^) = x, 

 welche Gleichung sagt au 5, dass die Succession der beiden 

 Transformationen 



x' = f(x by b,^ eg) und x' = f{x ßy ß^ ß^) 

 mit der identischen Transformation der Gruppe aequivalent 

 ist, dass also jene Transformationen sich auflieben. Dies giebt 

 Satz 25. Enthält eine dreigliedrige Gruppe eine geivisse 

 Transformation, so enthält sie auch die inverse Transformation. 

 Wusste man a priori, dass die Funktion / für ay = a^ 

 «2 = a^, «3 = al bestimmte endliche Differential -Quotienten 

 hinsichtlich der a besässe, so könnte man den Ausdruck 



