Sophus Lie. 4!f 



^ ^k (Pi Pa ßs) ^^ = 



bringen, woraus durch Integration 



/(/ ßi ß^ ß,) = F{f ^^Aß) ^^'2(/5)) 

 und also 



f{x «., a.^ «3) = F(f if, IV. ^), 

 was mit der Annahme, dass æ' = f {x a, Æg a^) eine drei- 

 gliedrige Gruppe ist; im Widerspruche steht. — Folglich 

 können auch nicht zwei oder drei Relationen der Form (15) 

 bestehen. Dies giebt 



Satz 26. Jede dreigliedrige •■Gruppe enthält <yc'^ inßnitesi- 

 tnale Transformationen. 



Jetzt führe ich zuerst eine endliche Transformation 

 æ' = f{x a^ a.^ a^) 

 der Gruppe aus, sodann eine beliebige unter den zugehörigen 

 •infinitesimalen, etwa die folgende 



ÔX = X{œ) dt. 

 Die mit dieser Succession aequivalente Transformation 



x" = f{æ a^ a.2 «3) + X{æJ) ôt 

 gehört, wissen wir, der Gruppe an, und kann daher die Form 



æ" = /( 3P a^ + da^ . . . «3 + da^) 

 erhalten. Und da / nur für Ausnahmswerthe der a disconti- 

 nuirlich sein kann, folgt 



X(x') dt ^ 2 ^ da^ 

 ^ da^ 



oder wenn wir mit dt dividiren und æ' durch / ersetzen 



X{f) = :2 M,{a, a, a,) ^^ 



Also können wir den folgenden Satz aussprechen; 



Satz 27. Gehört die infinitesimale Transformation Sx = 

 X.{œ) ôt der dreigliedrigen Gruppe x' = f{x «j a^ «3), so 

 drückt X(f) sich aus als Summe der Dißerentialquotienten 

 von f hinsichtlich der a, multiplicirt mit gewissen Funktionen 

 von a, «2 'f'^^ da- 

 sind 



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