50 Theorie der Transformations-Gruppen. 



ÔX = Jf, öt^, ÔX = JT^ dt.^, oæ = X3 d<3, 

 drei unabhängige infinitesimale Transformationen unserer 

 Gruppe, so bestehen also drei Gleichungen der Form 



und da keine Relation der Form 



'2i ^i(«i «2 «3) X\ = 

 stattfinden darf, findet man durch Auflösung 



^^ = Ä,x,{f) + B, x,(/) + a x,{f), 



wo wieder die J. J3 C nur von a^ a^ und a.^ abhängen. 

 Dies giebt 



Satz 2<S. Sind 



ÔX = Xi (5^1 dx = Xg dt. 



•drei von einander unabhängige infinitesimale Transformationen 

 der dreigliedrigen Gruppe x' = f{x a, a^ a^), so drücken die 

 Differential- Q,u,otienten von f hinsichtlich der a sich als Summe 

 dtr Grössen X^ (/), X2 (/) und JC^ (/), multiplicirt mit gewissen 

 Funktionen der a aus. 



§ 7. 



Allgemeine Form der dreigliedrigen Oruppen. 



Der vorangehende Satz dient uns zur Grundlage für die 

 Bestimmung der allgemeinen Form der dreigliedrigen Gruppe 



ûg' = f {x «J «2 ^s)- 



Die Funktion / genügt nach diesem Satze drei Gleichungen 



der Form 



welche die bekannten Integrabilitäts-Bedingungen erfüllen müs- 

 sen, insofern / die Grösse x^ die in A-,, B,, Q gar nicht vor- 

 kommt, enthalten soll. In dieser Weise findet man, indem 

 man der Kürze wegen 



