SophöS Lie. 51 



AiB^ - A^Bi = (^i-Bk) 

 Xi X'k — Xk X'i = [^i ^k] 

 setzt, drei Bedingungs-Gleichiingen der Form 



{Ä,B^) [JT, ^2] + (^i ^0 [x<, X3] + (a^k) [^3 ^1] + 



, dAk dÄi . V , / ^^k dBi N V . / ^^^ '^^i \ V 

 ^ da^ da\i ' da\ da^ ^ ^ rfai rfak ^ ^ 



wo «' nud Ä- zwei beliebige unter den Zahlen 1, 2 und 3 sind. 



Da nun die Determinante 



{B^ O3) (O, ^3) (^, ^3) 



(JB3O,) (^3^,) (.43^,) 



gleichzeitig mit der einfacheren Determinante 



verschwindet, und diese letzte von Null verschieden sein muss, 

 indem sont^t eine Kelation der Form 



ri-f 



2h ünia^ «2 «3) -j^ = 



stattfände, und daher 



f^ Fix w^(a^ a.i a^) lo^Ca^ a^ a^)) 

 wäre, so können wir unsere drei Bedingungs-Gleichungen hin- 

 sichtlich der Grössen [X Xk] auflösen 



[Xj X.2] = «1X1+ a.y X2 + «3 X3 



(16) [X, X3] = /?, X, + ß, X, + ß, X3 



Hier sind die Grössen «i ßi yi, die sich zunächst als Funk- 

 tionen der a darbieten, absolute Constanten, indem die Aus- 

 drücke [ JTi Xk] gar nicht die a enthalten. Also 



Satz 29. Sind 



ÔX = X^ öt^^ ÔX = X2 öt^, ÔX = X3 ôt.^ 

 drei voyi einander tmabhängige infinitesimale Transformationen 

 einer dreigliedrigen Gruppe, so drückt jedes [Xi Xk] sich als 

 Summe von JTj, X2 und X3, multipliclrt mit Constanten au^. 



Um die Constanten «j ßi und yi zu bestimmen, bemerken 



wir, dass die Gleichung 



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