52 Theorie der Transformations-Gruppea. 



identisch stattfindet. Anwenden wir daher die Gleichungen 

 (16) zweimal, so kommt eine Relation der Form 



l>i Xi + I>2 X.2 + I>3 Z3 = 

 woraus 



D, = = /i, a:.^ - ^.^ ai + :k, /5f3 — Kä ßi 



J^2 = = ;/2 /^a - Yi ßi ^ «--2 K) - «^1 Yi (l'?) 



2)g - o = «3 7/^ — a', ^3 + /Î3 a'. - /S^ ö'3 



Unsere dreigliedrige Gruppe enthält zweigliedrige Unter- 

 gruppen, deren jede zwei infinitesimale Transformationen 

 enthält, die eo ipso der dreigliedrigen Gruppe angehören. 



Seien insbesondere 



dx = X^dt^ ÔX = X^ 6t ^ 

 infinitesimale Transformationen einer solchen Untergruppe; die 

 derart gewählt sind, dass 



ist. Alsdann ist 



a^ = 1, «2 ^^5*^3 "" ^• 

 Diece Werthe setzen wir in (17) ein, und finden so 

 Y-6 = 0, ß. = Yx ß,, Y^ißs - 1) = 

 Wäre nun y 2 =0, so käme 



[X,, X3 + r, x^] = 



woraus 



X3 + Xi ^2 = Oonst. X^, 

 welche Gleichung mit unserer Annahme, dass unsere infini- 

 tesimalen Transformationen unabhängig sind, im Wider- 

 spruche steht. Folglich muss 7^2 ^"^^ ^"^^ verschieden und also 



ß, = 1 

 sein, woraus ferner 



ri = ß-z 



folgt. Hierjiit sind die [XiXk] bestimmt 



[X, X2] = X„ [X3 XJ = n X, + y., X, 

 [X, X3] = ß, X\ + y, X, + X3. 

 Um diese Formeln noch einfacher zu machen, setzen wir 



